Формули скороченого множення — поширені випадки множення многочленів. Багато з них є окремими випадками біному Ньютона.
Ці формули допомагають спрощувати складні вирази та ефективно виконувати множення. Зверніть увагу, що це лише деякі базові правила, і в більш складних виразах можуть застосовуватися інші правила множення.
Формули скороченого множення для квадратів
| a2−b2=(a−b)(a+b) | Різниця квадратів | Формула стверджує, що різниця квадратів двох чисел a2 – b2 може бути розкладена на добуток двох біноміальних виразів: (a – b) і (a + b). Це називається факторизацією різниці квадратів. |
| (a+b)2=a2+2ab+b2 | Квадрат суми | Квадрат суми двох чисел (a + b)2 може бути розкладений на суму трьох термінів: квадрат першого числа (a2), подвійне добуток першого і другого чисел (2ab), і квадрат другого числа (b2). |
| (a−b)2=a2−2ab+b2 | Квадрат різниці | Квадрат різниці двох чисел (a – b)2 може бути розкладений на різницю трьох термінів: квадрат першого числа (a2), подвійне добуток першого і другого чисел зі знаком мінус ( -2ab), і квадрат другого числа (b2). |
| (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc | Квадрат суми трьох чисел | Квадрат суми трьох чисел (a + b + c)2 може бути розкладений на суму шести термінів: квадрат першого числа (a2), квадрат другого числа (b2), квадрат третього числа (c2), подвійний добуток першого і другого чисел (2ab), подвійний добуток першого і третього чисел (2ac) та подвійний добуток другого і третього чисел (2bc) |
| (a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab−2ac+2bc | Квадрат різниці трьох чисел | Квадрат різниці трьох чисел (a – b – c)2 може бути розкладений на різницю шести термінів: квадрат першого числа (a2), квадрат другого числа (b2), квадрат третього числа (c2), подвійний добуток першого і другого чисел зі знаком мінус (-2ab), подвійний добуток першого і третього чисел зі знаком мінус (-2ac) та подвійний добуток другого і третього чисел (2bc). |
Формули скороченого множення для кубів
| a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) | Сума кубів | Сума кубів двох чисел (a3 + b3) може бути розкладена на добуток двох біноміальних виразів: (a + b) і (a2 – ab + b2). |
| a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) | Різниця кубів | Різниця кубів двох чисел (a3 – b3) може бути розкладена на добуток двох біноміальних виразів: (a – b) і (a2 + ab + b2). |
| (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 | Куб суми | Куб суми двох чисел (a + b)3 може бути розкладений на суму чотирьох термінів: куб першого числа (a3), подвійний добуток квадрату першого числа і другого числа (3a2b), подвійний добуток першого числа і квадрату другого числа (3ab2) та куб другого числа (b3). |
| (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3 | Куб різниці | Куб різниці двох чисел (a – b)3 може бути розкладений на різницю чотирьох термінів: куб першого числа (a3), подвійний добуток квадрату першого числа і другого числа зі знаком мінус (-3a2b), подвійний добуток першого числа і квадрату другого числа зі знаком плюс (3ab2) та куб другого числа зі знаком мінус (-b3). |
Формули для четвертого степеня
| (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 | Четвертий степень суми | Четвертий степінь суми двох чисел (a + b)4 може бути розкладений на суму п’яти термінів: четвертий степінь першого числа (a4), подвійний добуток третього степеня першого числа і другого числа (4a3b), подвійний добуток квадрата першого числа і квадрата другого числа (6a2b2), подвійний добуток першого числа і третього степеня другого числа (4ab3) та четвертий степінь другого числа (b4). Це називається розкладом четвертого степеня суми. |
| (a−b)4=a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4 | Четвертий степень різниці | Четвертий степінь різниці двох чисел (a – b)4 може бути розкладений на різницю п’яти термінів: четвертий степінь першого числа (a4), подвійний добуток третього степеня першого числа і другого числа зі знаком мінус (-4a3b), подвійний добуток квадрата першого числа і квадрата другого числа (6a2b2), подвійний добуток першого числа і третього степеня другого числа зі знаком мінус (-4ab3) та четвертий степінь другого числа (b4). |
Застосування
Застосування формул скороченого множення, які були наведені, допомагає спростити складні алгебраїчні вирази та полегшити їх обчислення.
Основні випадки застосування включають:
- Факторизація: Формули скороченого множення дозволяють розкласти складні вирази на більш прості складники. Це допомагає знайти спільні фактори та спростити вирази до більш зручного вигляду.
- Скорочення обчислень: Застосування формул скороченого множення дозволяє зменшити кількість операцій, які потрібно виконати під час обчислення виразів. Це спрощує процес та зменшує можливі помилки.
- Розв’язування рівнянь: Формули скороченого множення можуть бути використані для розв’язування рівнянь, зокрема для факторизації та спрощення виразів. Це допомагає знайти значення змінних, задовольняючи рівняння.
- Математичні доведення: Формули скороченого множення можуть бути використані для доведення різних математичних тверджень та властивостей. Вони є основою для розуміння та вивчення алгебричних структур.
Загалом, формули скороченого множення є потужним інструментом в алгебрі, який допомагає спрощувати вирази, знаходити спільні фактори та полегшує обчислення. Вони широко застосовуються в різних математичних і наукових областях.